斯卡恩的纸牌【Scarne on cards】 - 二十一点的数学原理 23

yaoming

52 手牌中庄家的明牌点数	52 手牌中点数在 17 至 21 点之间的完成牌数	52 手牌中庄家爆牌（Bust）次数
10	40	12
11 (Ace)	36	16
9	39	13
8	39	13
7	38	14
6	29	23
5	30	22
4	32	20
3	33	19
2	34	18

本表未将庄家获得“天成21点”（Natural）的情况计算在内，因为当庄家的明牌（Up Card）是10点或11点（Ace）且底牌翻开凑成天成时，玩家根本没有机会进行“要牌”或“停牌”的操作。将“21点表格 II 和 III”综合来看，是21点玩家所能拥有的最有价值的信息。请注意，从长远来看，庄家在52手牌中大约会爆牌（Bust）23手，因此当庄家的明牌是6点时，其处境最不利。

16点 vs 7点：为什么要加牌？

既然我们的分析表明，当庄家明牌是Ace时，玩家拿到16点应该停牌（Stand），那么常识似乎暗示当庄家明牌是7点时，玩家也应该停牌。然而，常识往往是不可靠的；这又是另一个错误的答案。

证明如下：

• 如果玩家停牌： 当玩家在16点停牌且庄家明牌为7点时，庄家将有14手牌爆牌，而有38手牌会完成（点数在17到21点之间）。由于玩家会输掉这38手完成牌，仅赢下庄家爆牌的14手，因此在52手牌中，玩家的净损失为24手。
• 如果玩家要牌： 如果玩家在52手牌中每次都对16点进行要牌（Hit），他将爆牌32手，并完成20手有效牌（平均分布在17至21点之间）。在庄家对应的20手牌中，大约包含5次爆牌（$14/52 \times 20 \approx 5.38$）和约15手17至21点的牌（其中约7手为17点）。庄家在与玩家对决中会输掉约10手。从玩家的32手爆牌中减去庄家输掉的10手，我们发现玩家的净损失为22手。
  
  

这比停牌少损失了2手。因此，当庄家明牌为7点时，玩家持有16点选择“要牌”更为有利。

16点 vs 10点：为什么要停牌？

让我们分析另一个21点中令人难以置信的因素。假设庄家的明牌是10点牌（10、J、Q或K），而玩家的点数同样是16点。

当庄家明牌为10点时，他必须查看底牌看是否是Ace。如果是，他会立即翻开天成并收走玩家的赌注。由于在52手牌中，庄家底牌是Ace的情况约有4手，这留下了48手可以进行决策的牌：

• 如果玩家停牌： 在这48手牌中，庄家将爆牌11次，并有37次达到17至21点——玩家净损失26手。
• 如果玩家要牌： 玩家将爆牌30手，完成18手牌。在庄家对应的18手牌中，庄家约爆牌4手。简单计算（30减4）似乎也是净损失26手。
  
  

关键区别： 虽然看起来一样，但实际上有差别。玩家完成的18手牌均匀分布在17至21点，而庄家完成的牌中，有7手是20点的高分，另外7手分布在17至21点。这意味着庄家会比玩家多赢3手完成牌。加上这3手损失，要牌的总净损失为29手。

因此，当庄家明牌为10点时，玩家持有16点选择“停牌”更为有利。