斯卡恩的纸牌【Scarne on cards】 - 二十一点的数学原理 21

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21点的数学原理

庄家获胜的确切百分比

你为什么会在21点中输钱？你的获胜几率是多少？你正在对抗什么样的赔率？赌场的优势到底在哪里？

由于21点是唯一一种结合了技巧与运气的赌场庄家游戏，这些问题至关重要。然而，尽管21点在每年的投注总额中仅次于骰子游戏（Craps），但极少有人——无论是玩家、博弈类书籍作者，甚至赌场员工——知道真正的答案。

桥牌专家埃利·库伯森（Ely Culbertson）、阿尔伯特·莫尔黑德（Albert Morehead）和杰弗里·莫特-史密斯（Geoffrey Mott-Smith）也曾承认他们对此并不了解。在库伯森 1952 年出版的《卡牌游戏大全与官方规则》中，他们写道：“在所有高额赌注的游戏中，21点是缺乏科学分析的典型。目前唯一的策略指南都是经验主义的；没有人能拿出比‘个人见解’更有力的证据来估算庄家的优势。”

我曾询问过数百名21点玩家，发现甚至不到百分之一的人能说清自己在这个游戏中所面对的赔率。绝大多数人只是简单地回答：“我不知道。”既然这是一场玩家与庄家的对决，一个除了规则以外对游戏一无所知的玩家去参与战斗，注定会遭遇惨败。由于节奏极快，哪怕是对玩家极小的劣势，也会成为获胜的重大阻碍。更糟糕的是，玩家的劣势程度与其对游戏策略的无知程度成正比。在21点中，你所不知道的东西对你伤害最大。

你觉得顶级赌场的“领班”（Pit Boss）会知道庄家的优势是多少吗？我曾试着从“纽约客吉米”那里得到答案，当时他是哈瓦那著名的纳雄耐尔酒店赌场里一位颇具个性的领班。他一直回避，直到我逼问他给个正面答复。他说：“斯卡内，没人能算出21点中庄家的优势，那太复杂了。”

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揭秘：隐藏的优势所在

在我们深入数学分析之前，我先告诉你游戏中到底是哪一部分给了庄家优势。如果你问庄家：当你和他点数相同（平局）时，你的赌注会怎样？他标准的回答通常是：“所有平局都是‘平手’（Stand-off）；没人赢，也没人输。”

这暗示了平局时庄家不会拿走你的钱。这并不完全正确，事实上，这大错特错。

诚然，当你点数在21点或以下且与庄家持平时，他不会拿走你的钱。但如果“所有平局都是平手”这句话是真的，那么当你和他同时在22点、23点或任何超过21点的点数“爆牌”时，他也应该不能碰你的钱。他收手了吗？不，21点不是这么玩的。当玩家爆牌时，庄家不会等待看自己是否也会爆牌，他会直接收走赌注并结束这笔交易。 哪怕庄家随后的点数也爆牌了，玩家依然算输。

这就是庄家获胜核心的、隐藏的百分比所在。 这是赌场老板喜欢21点、而大多数玩家输钱的真正原因。庄家拥有的优势建立在一个未被明说、也常被忽视的条款上：只有在点数不大于21点的前提下，平局才算平手（Push）。 想要证明这一点？很简单。只需下次要求庄家在你爆牌后继续补完他的牌，并约定如果他也爆牌且点数超过你，就得赔你钱。你很快就会得到一个干脆的拒绝。

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数学计算的复杂性

当然，要算出针对每个玩家的确切劣势是不现实的，因为每个人的打法都不同。有些玩家在12、13、14点就停牌；有些人15、16点还要牌；有些人15点才停；甚至总有些笨蛋在拿到A和9（20点）时还要牌。

然而，由于庄家在停牌还是补牌上没有选择权（规则预先规定了庄家的行动），我们可以算出对他有利的确切百分比。这不容易，但可行。

• 首要原则： 庄家的隐藏优势在于玩家必须先行动。如果双方都爆牌，玩家输。
• 公平前提： 如果没有上述规则（且假设庄家暗牌赔付比例为1:1，且玩家不能分牌或加倍下注），这原本是一个赔率均等（Even-up）的游戏。
• 动态变量： 与骰子或轮盘赌固定的赔率不同，21点的庄家优势在游戏过程中会随每张发出的牌而显著变化。
  
  

因此，接下来的分析必须基于一副完整的牌（52张）。我们假设分析开始时，所有52张牌都在，尚未发出任何一张。接着，我们将利用标准的排列组合公式，结合严密的逻辑和基础算术，来计算在长期的博弈中，庄家预期会出现多少次“爆牌”。

21点起手两张牌的 1,326 种点数组合

点数 (Count)	组合方式数量 (Number of Ways)
21（天成）	64
20	136
19	80
18	86
17	96
16	86
15	96
14	102
13	112
12	118
11	64
10	54
9	48
8	38
7	32
6	38
5	32
4	22
3	16
2	6
总计组合数	1,326

21点概率分析：庄家优势与爆牌因子


我们发现，庄家的前两张牌共有 1,326 种不同的组合方式，点数涵盖 2 到 21 点。请注意，虽然玩家可以将 A 计为 1 或 11，但庄家在所有 17 点或以上的“软牌”手中必须将 A 计为 11；上述计算均以此为前提。我们不打算直接计算这 1,326 手牌中庄家会爆牌的具体次数，因为那会涉及过多的分数。为了简化计算并避开分数，我们将 1,326 乘以 169，得到一个公倍数 224,094。

现在，假设你最喜欢的庄家派发了这么多次手牌，且每种两张牌的组合出现的频率完全符合概率论的长期预测：


初始点数为 17, 18, 19, 20, 21： 在 1,326 次中会出现 462 次，即 462/1326 × 224,094 = 78,078 次。根据规则，庄家必须停牌，因此这些牌绝不会爆牌。
初始点数为 12, 13, 14, 15, 16： 出现 514 次，即 86,866 次。由于规则要求庄家在 16 点或以下必须要牌，他将爆牌 47,456 次，并有 39,410 次最终达到 17 至 21 点。 初始点数为 2 到 11： 出现 350 次，即 59,150 次。庄家必须继续要牌，最终会爆牌 17,018 次，并有 42,132 次达到 17 至 21 点。


结论： 将所有爆牌次数相加得到 64,474，非爆牌次数为 159,620。用总手数 224,094 除以 64,474 次爆牌，我们发现庄家平均每 3.47 手牌就会爆一次，即爆牌率约为 28%。

为什么庄家有优势？

由于玩家的策略各异（很多人甚至不具备一致性），我们如何计算玩家的预期爆牌数？首先，我们假设一个“模拟玩家”，他严格遵循与庄家相同的规则：17 点停牌，16 点要牌，且不分牌、不翻倍。在这种情况下，玩家和庄家的爆牌概率是完全一样的。

当庄家和玩家在同一局中同时爆牌时，银行（庄家）胜。计算公式如下：

64,474 / 224,094 × 64,474 / 224,094

得到：

4,156,896,676 / 50,218,120,836 = 8.27%

这意味着庄家拥有 8.27% 的初始隐性优势。减去庄家为“天成 21 点（Natural 21）”支付 3 比 2 赔率所带来的 2.37% 玩家优势后，庄家的最终净优势为 5.90%。记住这个数字，这正是大多数业余玩家意识不到的门道。

“从不爆牌”策略行得通吗？

有人可能会问：“既然庄家优势在于双方同时爆牌，那我只要在 12 点以上绝不要牌，保证自己永不爆牌，不就能赢了吗？”

答案是绝对不行的。

原因： 庄家的优势基于两个因素：一是双爆牌因子，二是玩家必须先行动。如果你采取“绝不爆牌”策略（12点以上永远停牌）：

你永远不会爆牌，但在你持有的 12-16 点手牌中，除非庄家自己爆牌，否则你必输无疑（因为庄家最低也会停在 17 点）。
经过计算，这种策略会导致你比庄家多输掉 53,487 手牌。 换算成百分比，这会让庄家优势飙升至 23.86%，即便扣除天成 21 点的红利，庄家仍有 21.49% 的巨大优势。


总结： 不要试图通过极端猥琐的打法来规避爆牌，那样只会让你输得更快。想要提高胜率，必须学习正确的策略。