人类历史上最古老的观念之一，就是相信世界中存在着“偶然”（Chance）的成分，即本质上不可预测的事情确实会发生。这种观念是如何产生的呢？说起来有些曲折。原始社会的人们认为，“偶然”是神灵或恶魔的所作所为。而在荷马时代的古希腊人看来，“偶然”则表现为以下三种形式之一（或全部）：
这最后一种形式（指不敬神法的事物），曾被伟大的希腊思想家、哲学家以及此后科学时代的历代智者所研究。在今天，它最接近我们所说的“偶然事件”。当然，我们对“偶然”有不同的称呼，比如“好运”、“厄运”或是“时机”。但这些关于运气的观念，其实只是对“偶然”这一概念的误解。
从更专业的技术语言来说，偶然性是一套理论，即概率论。不过，我们点到为止即可。通过将这一理论应用到掷骰子这种简单问题上，我们可以化繁为简。“双骰儿游戏（Craps）”是通往偶然性理论核心思想的绝佳途径。通过它，你可以看到偶然性规律是如何运作的，而且只需稍加钻研，你就能轻松掌握要领——绝非说笑（注：此处原文用了“point”一词，既指掷骰子得分，也指观点）。
基础概率原理初读接下来的几页时，那些对数学感到头疼的读者可能会感到困惑。但请坚持读下去。因为本书中没有任何一个章节能像“偶然性理论”或“概率论”这样，对投掷花旗骰（Craps）的玩家提供如此巨大的帮助。这些素材改编自霍勒斯·C·莱文森博士（Dr. Horace C. Levinson）的著作《偶然性的科学》（The Science Of Chance，1950年出版）。我们无法写得比莱文森博士更通俗易懂了。请记住，概率论最初就诞生于赌场，而没有任何例子能比像 Craps 这样的概率游戏更能说明概率的基础应用。
那我们开始吧。先考虑一对骰子中的一颗，即一个普通的六面骰子。如果我们问：掷出其中任意一面（比如 6 点）的反向赔率（Odds against）是多少？你会回答：显而易见是 5 比 1 （5 to 1）。你的回答不仅直观，而且完全正确。
如果进一步追问你，为什么说是 5 比 1？你可能会这样回答：“骰子的构造是对称的，如果你投掷很多次，没有任何理由认为其中一面会比另一面出现得更频繁。因此，逻辑上每一面出现的次数大约占总投掷次数的六分之一。所以，任何一面（例如 6 点）不出现的概率与出现的概率之比，非常接近 5 比 1。”
或者你也可以这样说：“每次投掷都有 6 种可能的结果，对应骰子的 6 个面。由于骰子是对称构造的，这 6 种结果发生的可能性完全相等。因此，掷不出 6 点的赔率就是 5 比 1。”
除了说掷出 6 点的反向赔率是 5 比 1，我们也可以说掷出 6 点的机会或概率是 六分之一（1/6）。
到目前为止，这还算简单。
现在请注意，你的第一种回答指向的是一系列长期投掷的结果。因此，它定义的被称为**“统计概率”（Statistical Probability）。请留意你第一种回答中的那个词：“非常接近”**。
而第二种回答指向的是单次投掷的结果，看起来与实际经验无关。它所定义的被称为**“先验概率”（A Priori Probability）**。
上述定义的每种概率都等于 1/6。这是一个被称为“大数定律”的普遍法则的典型例子，该法则告诉我们：当这两种概率同时存在时，它们是相等的。现在我们可以抛弃这些拉丁文形容词（先验等术语），简称为“概率”了。
至此，我们找到了想要的线索。掷出 6 点的机会或概率，简单来说就是：能掷出 6 点的结果数量（1 种）除以所有可能的结果总数（6 种）。
这就是基础概率原理。如果你觉得我们绕了这么大一圈才得出这个结论，请记住：只要通过这种方式理清了逻辑，你就永远不会忘记它。
概率的基础定义现在，我们迎来了概率的核心定义。一个事件发生的概率，定义为“该事件有利情况的数量”除以“所有可能发生情况的总数”，前提是所有这些情况发生的可能性是相等的。
别担心，我们会解释清楚的。
这条实操规则告诉了我们如何去寻找各种问题的概率或机会，特别是那些与概率游戏（博弈）相关的问题。
为了说明这一点，让我们把这条规则应用到另一个关于单颗骰子的问题上：投掷出 5 点或 6 点的机会是多少？
首先，列出所有可能的情况。 对于一颗骰子，总是有 6 种情况（即它的 6 个面）。
接着，挑出“有利情况”。 在这里是 5 点和 6 点——所以有 2 种有利情况。
计算概率。 因此，我们寻找的概率就是一个分子为 2、分母为 6 的分数；即 2/6 或 1/3。
注意： 每一个能用数字表达的概率，都呈现为分数的形式。
现在，让我们进入实战，像玩 Craps 游戏那样投掷两颗骰子。投掷出总和为 7 的机会是多少？
首先，我们必须知道可能发生的情况总数。换句话说，我们必须计算出两颗骰子能投掷出的所有不同组合。显而易见，一共有 36 种。
但在继续之前，让我们给两颗骰子分别涂上颜色：一颗涂成蓝色，另一颗涂成红色。为什么要这么做？因为除非我们有办法区分这两颗骰子，否则就会像当年的新手（甚至现在的某些人）一样犯下愚蠢的错误。
现在来列出“有利情况”，即总和为 7 的投掷组合：
因此，涉及 1 点和 6 点的有利组合共有两种。明白了吗？
这个简单的道理，在把骰子想象成不同颜色时是如此显而易见，但在过去，它曾是那些反应迟钝的新手面前真正的绊脚石。信不信由你，现在依然如此。
如果我们继续列出所有有利情况，我们可以将完整的清单写成下面这张简表：
| BLUE (蓝) | RED (红) |
| 1 | 6 |
| 6 | 1 |
| 2 | 5 |
| 5 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
本表格中的每一行都代表一种有利组合，因此共有 6 种有利情况。由于所有可能出现的情况总数为 36 种，根据基本概率准则可知，掷出两枚骰子点数之和为 7 的概率是 6/36，即 1/6。
这一结果的准确性建立在“36 种可能情况中的每一项都具有同等可能性”的前提之下。为了验证这一点，我们需要记住：单枚骰子的六个面中，每一面出现的概率都是相等的；此外，由于两次投掷是相互独立的，因此同时掷出两枚骰子与将同一枚骰子投掷两次的效果是完全一致的。
各种投掷情况与概率让我们再次从基础讲起。花旗骰（Craps）是用两枚普通骰子进行的。持骰者（投掷手）如果第一次投出的点数之和为 7 或 11，则立即获胜；如果总和为 2、3 或 12，则立即落败，但仍可继续掷骰。
如果总和是剩余六种可能的点数中的任何一种，他在第一轮既不赢也不输，而是继续掷骰，直到他再次掷出与第一轮相同的点数（称为“点数”），或者掷出 7 点为止。投掷手在第一轮掷出的总点数被称为其“点数”（Point）。如果他在掷出 7 之前先掷出了这个点数，他就赢了；如果先掷出了 7，他就输了，且根据规则必须交出骰子。
你可能会问，投掷手在概率上是占优还是处于劣势？我们之前给出过答案，但现在换一种方式回答：众所周知，在赌场玩花旗骰时，赌场从不亲自掷骰。既然我们知道胜算总是站在赌场一边，那么我们可以提前相当有把握地断定——我们的计算将证明，赔率（概率）对投掷手是不利的。当然，关于各种投掷情况的有利或不利赔率，还有其他问题可以探讨，我们将在后续内容中一一解答。
| 投掷总和 (Total of Throw) | 概率 (Probability) |
| 2 或 12 | 1/36 |
| 3 或 11 | 2/36 或 1/18 |
| 4 或 10 | 3/36 或 1/12 |
| 5 或 9 | 4/36 或 1/9 |
| 6 或 8 | 5/36 |
| 7 | 6/36 或 1/6 |
根据这张表格和游戏规则，我们知道投掷手在第一轮投掷中直接获胜的概率是 8/36（即 2/9）。因此，第一轮投掷就直接分出胜负（获胜或落败）的概率是 12/36，即 1/3。相应地，第一轮投掷未能决定胜负的概率则是 2/3。
我们已经处理了第一轮投掷出现 2、3、7、11、12 点的情况。现在假设第一轮投掷出了其他的总点数，例如 6 点。那么，6 点就成了玩家的“目标点数”（Point）。他必须在掷出 7 之前先掷出 6 才能获胜。那么概率是多少呢？已知掷出 7 的概率是 6/36，而掷出 6 的概率是 5/36。
在给出答案之前，让我们在此引入一个逻辑推理示例，它不仅适用于当前情况，也同样适用于其他案例。
错误与正确的推理过程人们可能会倾向于这样推理：掷出 7 的机会与掷出 6 的机会之比是 6:5。因此，在掷出 7 之前先掷出 6 的概率是 5/11，而先掷出 7 的概率是 6/11。
这是一个“用错误的推理得出正确结果”的典型案例。之所以说它推理错误，是因为按照我们刚才的表述，其结论并不符合概率论的基本原理。此外，我们还预设了一个前提：只要掷得足够久，6 或 7 终究会出现一个。
现在，让我们用正确的方式来重新论证。玩家的目标点数是 6。他掷出“中性点数”（即除了 6 和 7 以外的所有点数）的概率是 25/36。连续两次掷出中性点数的概率是 (25/36)^2，而连续 x 次掷出中性点数的概率则是 (25/36)^x。
如果游戏要无休止地进行下去，玩家就必须连续投出无穷多次中性点数。然而，这种情况发生的概率 (25/36)^x 会随着 x 的增加而变得越来越小。由于只要 x 足够大，我们可以让这个概率趋近于任意小的数值，因此我们可以理所当然地认为：游戏永远不结束的概率为 0。
请把这段话再读一遍，它其实并没有听起来那么复杂。
既然排除了所有中性点数，剩下的就只需考虑掷出 6 或 7 的情况。现在我们可以得出结论：在产生 6 或 7 的 11 种可能情况中，有 5 种有利于 6，6 种有利于 7。因此，在掷出 7 之前先掷出 6 的概率是 5/11。这就是用正确的推理得出的正确结果。
目标点数及其概率我们可以很容易地对六个可能的目标点数分别进行相应的计算。正如前表所示，目标点数为 6 的概率与 8 相同，5 的概率与 9 相同，以此类推。对每一个可能的目标点数进行计算，可以得到如下结果：
在掷出 7 之前掷出指定点数的概率表:
| 目标点数 (POINTS) | 概率 (PROBABILITY) |
| 4 (或 10) | 3/9 |
| 5 (或 9) | 4/10 |
| 6 (或 8) | 5/11 |
发表于 2026-4-24 08:29:00
